【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
下記の条件で運転する揚水発電所について，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。ただし，水の密度を\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {kg/m^{3}} \ \)，重力加速度を\( \ 9.8 \ \mathrm {m/s^{2}} \ \)とする。
また，簡単のため，運転中の総落差，損失水頭，流量，効率は変わらないものとする。
総落差：\( \ H_{0} =450 \ \mathrm {m} \ \)
発電時使用水量：\( \ Q_{\mathrm {g}} ＝50 \ \mathrm {m^{3}/s } \ \)
揚水量：\( \ Q_{\mathrm {p}} ＝40 \ \mathrm {m^{3}/s } \ \)
発電損失水頭：\( \ H_{0} \ \)の\( \ 3 \ \mathrm {％} \ \)
揚水損失水頭：\( \ H_{0} \ \)の\( \ 3 \ \mathrm {％} \ \)
発電運転時の発電機及び水車の効率合計（掛け算）：\( \ \eta _{\mathrm {g}}\eta _{\mathrm {t}} =90 \ \mathrm {％} \ \)
揚水運転時の電動機及びポンプの効率合計（掛け算）：\( \ \eta _{\mathrm {m}}\eta _{\mathrm {p}} =85 \ \mathrm {％} \ \)
発電運転時間：\( \ T_{\mathrm {g}} ＝8 \ \)時間
\(\mathrm {(a)} \ \) この揚水発電所について，発電出力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)と揚水入力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 発電出力 \ \mathrm {[kW]} & 揚水入力 \ \mathrm {[kW]} \\
\hline
(1) & 192 \ 500 & 201 \ 300 \\
\hline
(2) & 198 \ 500 & 207 \ 500 \\
\hline
(3) & 204 \ 400 & 201 \ 300 \\
\hline
(4) & 198 \ 500 & 213 \ 750 \\
\hline
(5) & 192 \ 500 & 213 \ 750 \\
\hline
\end{array}
\]
\(\mathrm {(b)} \ \) この揚水発電所について，発電運転\( \ 8 \ \)時間を行う場合の揚水所要時間［時間］と，揚水に使用した電力量を発電電力量に変換する変換効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 揚水所要時間 \ \mathrm {[時間]} & 変換効率 \ \mathrm {[％]} \\
\hline
(1) & 8 & 72.0 \\
\hline
(2) & 8 & 76.5 \\
\hline
(3) & 10 & 72.0 \\
\hline
(4) & 10 & 74.2 \\
\hline
(5) & 10 & 76.5 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
揚水発電所の電動機入力及び発電機出力を求める問題です。
使用する公式はいずれも揚水発電の基本公式となりますので，練習問題としてもとても良い問題です。
近年の\( \ \mathrm {B} \ \)問題としてはかなり易しい問題なので，合格のためには是非とも完答しておきたい問題となります。
令和6年上期問2や平成28年問1に類題が出題されていますので合わせて学習しておくことをお勧めします。
1.揚水発電所の諸公式
揚水発電で使用される諸公式は以下の通りです。本問で使用しない公式も覚えておくようにしましょう。
①発電電力
有効落差 ：\( \ H=H_{0}-h_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
発電機出力：\( \ P_{\mathrm {G}}=9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
総発電量 ：\( \ W_{\mathrm {G}}=P_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)
ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {T}} \ \)は水車効率，\( \ \eta _{\mathrm {G}} \ \)は発電機効率，\( \ T_{\mathrm {G}} \ \)は発電時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)
②揚水動力
必要揚程 ：\( \ \displaystyle H_{\mathrm {P}}=H_{0}+h_{\mathrm {P}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
所要動力 ：\( \ \displaystyle P_{\mathrm {M}}=\frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} } \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
所要電力量：\( \ W_{\mathrm {M}}=P_{\mathrm {M}}T_{\mathrm {M}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)
ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {P}} \ \)はポンプ効率，\( \ \eta _{\mathrm {M}} \ \)は電動機効率，\( \ T_{\mathrm {M}} \ \)は揚水時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)
③揚水総合効率
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {W_{\mathrm {G}}}{W_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}}{\displaystyle \frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} }T_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q_{\mathrm {G}}HT_{\mathrm {G}}}{Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {H}{H_{\mathrm {P}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} \left( ∵ Q_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}\times 3 \ 600=Q_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}\times 3 \ 600\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(a)解答：(5)
①発電出力
有効落差\( \ H \ \mathrm {[ m ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&H_{0}-h_{\mathrm {G}} \\[ 5pt ]
&=&450-0.03\times 450 \\[ 5pt ]
&=&436.5 \ \mathrm {[ m ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，発電出力\( \ P_{\mathrm {g}} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {g}}&=&9.8Q_{\mathrm {g}}H\eta _{\mathrm {g}}\eta _{\mathrm {t}} \\[ 5pt ]
&=&9.8\times 50 \times 436.5 \times 0.90 \\[ 5pt ]
&≒&192 \ 500 \ \mathrm {[ kW ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
②揚水入力
必要揚程\( \ H_{\mathrm {p}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H_{\mathrm {p}}&=&H_{0}+h_{\mathrm {p}} \\[ 5pt ]
&=&450+0.03\times 450 \\[ 5pt ]
&=&463.5 \ \mathrm {[ m ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，揚水入力\( \ P_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&\frac { 9.8Q_{\mathrm {p}}H_{\mathrm {p}}}{\eta _{\mathrm {m}} \eta _{\mathrm {p}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac { 9.8\times 40 \times 463.5}{0.85} \\[ 5pt ]
&≒&213 \ 760 \ \mathrm {[ kW ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(3)
①揚水所要時間
発電運転\( \ T_{\mathrm {g}}=8 \ \mathrm {[h]} \ \)であり，発電に利用した水量と揚水に使用した水量は等しいので，揚水所要時間を\( \ T_{\mathrm {m}} \mathrm {[h]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {g}}\times 3 \ 600 T_{\mathrm {g}}&=&Q_{\mathrm {p}}\times 3 \ 600 T_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
Q_{\mathrm {g}} T_{\mathrm {g}}&=&Q_{\mathrm {p}} T_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
50\times 8&=&40 T_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
T_{\mathrm {m}}&=&10 \ \mathrm {[ h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
②揚水総合効率
揚水総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[ ％ ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {g}}T_{\mathrm {g}}}{P_{\mathrm {m}}T_{\mathrm {m}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {192 \ 500\times 8}{213 \ 760\times 10}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&72.0 \ \mathrm {[ ％ ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
［別解］
揚水総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[ ％ ] } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {H}{H_{\mathrm {p}}}\eta _{\mathrm {t}}\eta _{\mathrm {g}}\eta _{\mathrm {p}}\eta _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {436.5}{463.5}\times 0.90 \times 0.85 \\[ 5pt ]
&≒&0.720 → 72.0 \ \mathrm {[ ％ ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
