《理論》〈電子理論〉[R3:問15]平等電界及び平等磁界中の電子の運動に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のように,線間電圧\( \ 400 \ \mathrm {V} \ \)の対称三相交流電源に抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と誘導性リアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)からなる平衡三相負荷が接続されている。平衡三相負荷の全消費電力は\( \ 6 \ \mathrm {kW} \ \)であり,これに線電流\( \ I=10 \ \mathrm {A} \ \)が流れている。電源と負荷との間には,変流比\( \ 20 : 5 \ \)の変流器が\( \ \mathrm {a} \ \)相及び\( \ \mathrm {c} \ \)相に挿入され,これらの二次側が交流電流計を通して並列に接続されている。この回路について,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 交流電流計の指示値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 0 \ \)  (2) \( \ 2.50 \ \)  (3) \( \ 4.33 \ \)  (4)  \( \ 5.00 \ \)  (5) \( \ 40.0 \ \)

(b) 誘導性リアクタンス\( \ X \ \)の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 11.5 \ \)  (2) \( \ 20.0 \ \)  (3) \( \ 23.1 \ \)  (4)  \( \ 34.6 \ \)  (5) \( \ 60.0 \ \)

【ワンポイント解説】

三相交流回路に関する問題です。
三相交流回路は\( \ \mathrm {B} \ \)問題ではほぼ毎年出題されますし,電力科目や機械科目にも繋がる内容となるため,よく理解しておきましょう。
(a)の変流器の接続が,あまり電験では出題されないパターンとなりますが,本問の接続では単純に\( \ \mathrm {a} \ \)相と\( \ \mathrm {c} \ \)相を合わせた電流を測定することになります。

1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \),リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び,図1のようにベクトル図を描きます。さらに,有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ,
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図1において,力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また,線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき,皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \),有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \),無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は,インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため,\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図2のような関係を描くことができます。

【解答】

(a)解答:(2)
回路は三相平衡回路であり,交流電流計が測定する電流は\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}}+{\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)である。
図3より,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}+{\dot I}_{\mathrm {c}} &=&-{\dot I}_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,その大きさは\( \ 10 \ \mathrm {A} \ \)である。変流比が\( \ 20 : 5 \ \)であるから,交流電流計の指示値\( \ I^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\left| {\dot I}_{\mathrm {a}}\times \frac {5}{20}+{\dot I}_{\mathrm {c}}\times \frac {5}{20}\right| &=& \frac {5}{20}\left| {\dot I}_{\mathrm {a}}+{\dot I}_{\mathrm {c}} \right| \\[ 5pt ] &=& \frac {5}{20}\left| -{\dot I}_{\mathrm {b}} \right| \\[ 5pt ] &=& \frac {5}{20}\times 10 \\[ 5pt ] &=& 2.50 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(1)
平衡三相負荷の全消費電力が\( \ P=6 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるから,抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3RI^{2} \\[ 5pt ] R &=&\frac {P}{3I^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {6\times 10^{3}}{3\times 10^{2}} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また,線間電圧が\( \ V=400 \ \mathrm {[V]} \ \)であることから,負荷のインピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
Z &=&\frac {\displaystyle \frac {V}{\sqrt {3}}}{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {V}{\sqrt {3}I} \\[ 5pt ] &=&\frac {400}{\sqrt {3}\times 10} \\[ 5pt ] &≒&23.09 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,ワンポイント解説「1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の通り,図2に三平方の定理を適用すれば,
\[
\begin{eqnarray}
Z^{2} &=&R^{2}+X^{2} \\[ 5pt ] X^{2}&=&Z^{2}-R^{2} \\[ 5pt ] X&=&\sqrt {Z^{2}-R^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {23.09^{2}-20^{2}} \\[ 5pt ] &≒&11.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。