【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図1の端子\( \ \mathrm {a – d} \ \)間の合成静電容量について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 端子\( \ \mathrm {b – c – d} \ \)間は図2のように\( \ \Delta \ \)結線で接続されている。これを図3のように\( \ \mathrm {Y} \ \)結線に変換したとき，電気的に等価となるコンデンサ\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {[\mu F]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 1.0 \ \) (2) \( \ 2.0 \ \) (3) \( \ 4.5 \ \) (4) \( \ 6.0 \ \) (5) \( \ 9.0 \ \)
(b) 図3を用いて，図1の端子\( \ \mathrm {b – c – d} \ \)間を\( \ \mathrm {Y} \ \)結線回路に変換したとき，図1の端子\( \ \mathrm {a – d} \ \)間の合成静電容量\( \ C_{0} \ \)の値\( \ \mathrm {[\mu F]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 3.0 \ \) (2) \( \ 4.5 \ \) (3) \( \ 4.8 \ \) (4) \( \ 6.0 \ \) (5) \( \ 9.0 \ \)
【ワンポイント解説】
直並列接続したコンデンサの合成静電容量を求める問題です。
(a)は確実に得点しておきたい設問，(b)は計算間違いのないように注意しながら解いていく設問です。\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換，静電容量と抵抗の考え方の違い等重要な内容を多く含みますので，ぜひ理解するようにして下さい。
本問は直近の令和5年下期問17及び平成27年問16からの再出題となります。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図4～図6となります。
2.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
並列接続時：\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
直列接続時：\( \ \displaystyle C=\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}}=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。
3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図7において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図7において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
平衡三相回路においては，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&{\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
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【解答】
(a)解答：(5)
ワンポイント解説「3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換」の通り，三相平衡回路での\( \ \mathrm {Y} \ \)接続時のインピーダンスは\( \ \Delta \ \)接続時の\( \ \displaystyle \frac {1}{3} \ \)倍となるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{\mathrm {Y}}}&=&\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{\mathrm {\Delta }}} \\[ 5pt ]
\frac {1}{C_{\mathrm {Y}}}&=&\frac {1}{3C_{\mathrm {\Delta }}} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {Y}}&=&3C_{\mathrm {\Delta }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるので，図2における\( \ C \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&3\times 3 \\[ 5pt ]
&=&9 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(3)
(a)の解答を元に図1の回路を整理すると図8のようになる。
\( \ C_{1}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と\( \ C_{3}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)の合成静電容量\( \ C_{13} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{13}&=&\frac {C_{1}C_{3}}{C_{1}+C_{3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {9\times 9}{9+9} \\[ 5pt ]
&=&4.5 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ C_{2}=18 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と\( \ C_{4}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)の合成静電容量\( \ C_{24} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{24}&=&\frac {C_{2}C_{4}}{C_{2}+C_{4}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {18\times 9}{18+9} \\[ 5pt ]
&=&6 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ C_{1} \ ～C_{4} \ \)までの合成静電容量\( \ C_{1234} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1234}&=&C_{13}+C_{24} \\[ 5pt ]
&=&4.5+6 \\[ 5pt ]
&=&10.5 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，端子\( \ \mathrm {a-d} \ \)間の合成静電容量\( \ C_{0} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{0}&=&\frac {C_{1234}C_{5}}{C_{1234}+C_{5}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10.5\times 9}{10.5+9} \\[ 5pt ]
&≒&4.846 → 4.8 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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