【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号\( \ C \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)の入力信号\( \ R \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)に対する比，すなわち\(\displaystyle \frac {C \left( \mathrm {j}\omega \right) }{R \left( \mathrm {j}\omega \right) }\)を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \(\displaystyle \frac {T_{1}+\mathrm {j}\omega }{T_{2}+\mathrm {j}\omega }\) (2) \(\displaystyle \frac {T_{2}+\mathrm {j}\omega }{T_{1}+\mathrm {j}\omega }\) (3) \(\displaystyle \frac {\mathrm {j}\omega T_{1} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\)
(4) \(\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\) (5) \(\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega \displaystyle \frac {T_{1}}{T_{2}} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\)
【ワンポイント解説】
ブロック線図と伝達関数に関する問題です。公式や等価変換表を暗記しても良いですが，なぜそうなるかを理解し，問題を解きながら徐々に覚えていくのが良いと思います。別解のように手計算で導出可能な場合も多いので，そのように解いても良いと思います。
本問は平成30年問13からの再出題となります。
1.ブロック線図の考え方
①直列
図1のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
図2のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)±G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
③フィードバック
図3のような\( \ G(s) \ \)，\( \ H(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ W(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&\left\{ X(s) -H(s)Y(s) \right\} G(s) \\[ 5pt ]
Y(s)&=&G(s)X(s) -G(s)H(s)Y(s) \\[ 5pt ]
Y(s)+G(s)H(s)Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+G(s)H(s)\right\} Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\frac {Y(s)}{X(s)}&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
W(s)&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
解答：(4)
問題の回路を等価変換すると図4のようになる。
図4より，中間部の信号を\( \ X \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
X \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}}}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}\cdot \frac {T_{1}}{T_{2}}X \left( \mathrm {j}\omega \right) +X \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\left( 1+\mathrm {j}\omega T_{1}\right) X \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\left( 1+\mathrm {j}\omega T_{1}\right) \frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
\frac {C \left( \mathrm {j}\omega \right) }{R \left( \mathrm {j}\omega \right) }&=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
［別解］
問題図の中間部の信号を図5のように置く。
図5より，
\[
\begin{eqnarray}
R \left( \mathrm {j}\omega \right) -X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) &・・・・・①& \\[ 5pt ]
X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}} X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) &・・・・・②& \\[ 5pt ]
C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &・・・・・③& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\(②\)より，
\[
\begin{eqnarray}
X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &・・・・・②^{\prime }& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，これを\(①\)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
R \left( \mathrm {j}\omega \right) -X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
R \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left( 1 +\mathrm {j}\omega T_{2}\right) X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{1 +\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) &・・・・・④& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\(②^{\prime }\)及び\(④\)を\(③\)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {T_{1}}{T_{2}}\cdot \mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=& \mathrm {j}\omega T_{1}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=& \left( 1+ \mathrm {j}\omega T_{1}\right) X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=& \left( 1+ \mathrm {j}\omega T_{1}\right) \cdot \frac {1}{1 +\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ]
\frac {C \left( \mathrm {j}\omega \right) }{R \left( \mathrm {j}\omega \right) }&=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
